Question

【题目】已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．

（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；

（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）分与两种情况讨论，再结合一元二次方程的根的判别式即可判断；

（2）

【解析】

试题(1)、分两种情况讨论：①当m=0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根；

②当m≠0时，方程为一元二次方程，计算出△的值为非负数，可知方程有实数根．(2)、根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式．

试题解析：(1)、①当m=0时，原方程可化为x﹣2=0，解得x=2；②当m≠0时，方程为一元二次方程，

△=[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2） =m2+2m+1 =（m+1）2≥0，故方程有两个实数根；

故无论m为何值，方程恒有实数根．

(2)、∵二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，

∴=2， 整理得，3m2﹣2m﹣1=0， 解得m1=1，m2=﹣．

则函数解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x﹣．