Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，D是⊙O的切线CN上一点，BD交AC于点E，且BA= BD．

（1）求证：∠ACD=45°；

（2）若OB=2，求DC的长．

Answer 1

（1）证明：∵C是弧AB的中点，
∴弧AC=弧BC，
∴AC=BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
连接OC，∵OC=OA，
∴∠AC0=45°，
∵CN是⊙O切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD=45°．………………5分
（2）解：作BH⊥DC于H点，
∵∠ACD=45°，
∴∠DCB=135°，
∴∠BCH=45°，
∵OB=2，
∴BA=BD=4，AC=BC=2．
∵BC=2，
∴BH=CH=2，
设DC=x，在Rt△DBH中，
利用勾股定理：（x+2）²+2²=4²，
解得：x=−2±2（舍负的），
∴x=−2+2，
∴DC的长为：−2+2．………………10分