【题目】探究问题：已知
，画一个角
，使
，且
交
于点
.与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示.
①图1中与数量关系为____________；图2中与数量关系为____________.请选择其中一种情况说明理由.
②由①得出一个真命题(用文字叙述):____________________________.
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数.
【答案】（1）①
，
；证明见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；（2）30°，30°或70°或110°.
【解析】
（1）①利用平行线的性质逐一进行推导即可得出答案；
②根据①中的结论即可得；
（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．
（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF=180°．如图2中，∠ABC=∠DEF，
故答案为∠ABC+∠DEF=180°，∠ABC=∠DEF．
理由：如图1中，
∵BC∥EF，
∴∠DPB=∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠DPB=180°，
∴∠ABC+∠DEF=180°．
如图2中，∵BC∥EF，
∴∠DPC=∠DEF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DPC，
∴∠ABC=∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某商店两次购进一批同型号的热水壶和保温杯，第一次购进 12 个热水壶和 15 个保温杯，共用去资金 2850 元，第二次购进 20 个热水壶和 30 个保温杯，用去资金 4900元（购买同一商品的价格不变）
（1）求每个热水壶和保温杯的采购单价各是多少元?
（2）若商场计划再购进同种型号的热水壶和保温杯共 80 个，求所需购货资金 w（元） ，购买热水壶的数量 m(个)的函数表达式.
（3）在（2）的基础上，若准备购买保温杯的数量是热水壶数量的 3 倍，则该商店需要准备多少元的购货资金?
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，试验的结果如下：
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
（2）小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】在某体育用品商店，购买50根跳绳和80个毽子共用1120元，购买30根跳绳和50个毽子共用680元.
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“元旦”节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1700元，该店的商品按原价的几折销售？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．
（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形不够用，请自己画图）
（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线
的解析式为
，直线
的解析式为
，与
轴，
轴分别交于点
，点
，直线与交于点
.
（1）求点，点，点的坐标，并求出
的面积；
（2）若直线 上存在点
（不与重合），满足
，请求出点的坐标；
（3）在轴右侧有一动直线平行于轴，分别与，交于点
，且点
在点
的下方，轴上是否存在点
，使
为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函
数
有最大值；
②该函数图象关于直线
对称；
③当
时，函数y的值大于0；
④当
时，函数y的值都等于0．
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
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【题目】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．
（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；
（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．
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