Question

【题目】已知四边形ABCD是平行四边形，且以BC为直径的⊙O经过点A．

（1）如图①，若AD与⊙O相切，求∠ABC的度数；

（2）如图②，若AD与⊙O相交，交点E为AD的中点，求∠ABC的度数．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）∠ABC=45°；（2）∠ABC=60°．

【解析】

（1）由AD与⊙O相切，得到∠OAD=90°，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠AOB=∠DAO=90°，即可得到结论；

（2）连接AO，OE，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD=BC，推出四边形ABOE是平行四边形，证得ABOE是菱形，于是得到结论．

解：（1）∵AD与⊙O相切，

∴∠OAD=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AOB=∠DAO=90°．

∵OA=OB，

∴∠ABC=45°；

（2）连接AO，OE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC．

∵点E为AD的中点，O为BC的中点，

∴AE=BO，AE∥BO，

∴四边形ABOE是平行四边形．

∵OB=OE，

∴ABOE是菱形，

∴AB=OB=AO，

∴△ABO是等边三角形，

∴∠ABC=60°．