Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴于点A，交直线y=x交于点B．抛物线y=ax²-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q为线段OB上一点，点P为抛物线上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长；
（3）若点Q为线段OB或线段BC上一点，点P为抛物线上一点，PQ⊥x轴．设P、Q两点之间的距离为d，点Q的横坐标为m，求m为何值时，d取得最大值，最大值是多少．并直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）易求得点C，D坐标，将C，D代入y=ax²-2x+c即可求得抛物线的解析式；
（2）根据纵坐标为5可以求得点P，Q的横坐标，即可求得PQ的长，即可解题；
（3）由题意知P、Q两点横坐标相同，分类讨论求得PQ的长，即可解题．

解答：解：（1）∵点C横坐标为16，且点C在直线y=-2x+42上，
∴点C坐标为（16，10），
∵点D横坐标为4，且点C在直线y=x上，
∴点D坐标为（4，4），
将C，D两点代入y=ax²-2x+c得：

16a-8+c=4 256a-32+c=10

，
解得：a=

1

8

，c=10，
∴抛物线的解析式为y=

1

8

x²-2x+10；
（2）抛物线上点P纵坐标为5，
则有5=

1

8

x²-2x+10，
解得：x=8±2

6

，
∴点P坐标（8+2

6

，5），（8-2

6

，5）
∵点Q为线段OB上一点，直线OB解析式为y=x，纵坐标为5，
∴点Q坐标为（5，5），
∴PQ长度为（8+2

6

-5）或（5-8+2

6

），即3+2

6

或2

6

-3；
（3）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q两点横坐标相同，
∵直线y=-2x+42交直线y=x交于点B，
∴点B坐标为（14，14），
①当0≤m＜4时，d=

1

8

m²-2m+10-m=

1

8

m²-3m+10，此时d有最大值m=0时，d=10，且此时d随m的增大而减小；
②当4≤m＜14时，d=m-

1

8

m²+2m-10=-

1

8

m²+3m-10，此时d有最大值m=12时，d=8，∴m＜12时，d随m的增大而增大，m≥12时，d随m的增大而减小；
③当14≤m＜16时，d=-2m+42-（

1

8

m²-2m+10）=-

1

8

m²+32，此时d有最大值m=14时，d=7.5，且此时d随m的增大而减小；
综上所述，m=0时，d有最大值10，且d随m的增大而减小时m的取值范围为[0，4]，[12，16]．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．