Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点，动点，同时从点出发，点沿射线方向以每秒个单位的速度运动，点沿线段方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，点，同时停止运动，连接，设运动时间为（秒）．

（1）求证；

（2）当点运动到点时，若双曲线的图象恰好过点，试求的值；

（3)连接，当为何值时，为等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)k=4.32;(3) ∴当t=或t=或t=时为等腰三角形．

【解析】

（1）只需证明 ，即可完成证明；

（2）先确定ON的长度，再确定点N的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（3）分当NB=CB或CN=BN或CN=BC分类讨论解答即可；

（1）证明：由题意：OA=6，AB=8，BC=6,OB=10，OM=t，ON=0.6t，

∴

又∵∠MON=∠AOB，

∴△ONM∽△OAB.

（2）当点运动到点时，即OM=5时，ON=0.6t=3

过N作NF⊥y轴,NE⊥x轴,设N点坐标为（m，n）

∴sin∠COB=

∴FN=1.8

同理:NE=2.4

∴N点坐标为(1.8,2.4)

∵双曲线的图象恰好过点

∴k=2.4×1.8=4.32

(3)①当NB=CB时,即10-0.6t=6,解得t= 时, 为等腰三角形．

②当CN=BN时,即N在CB的垂直平分线上,

∴N为OB的中点

∴ON=5=0.6t

∴t=

③当CN=BC=6时,设N点坐标为(3a,4a),则ON=5a=0.6t

∴ 即,解得a=2或a=

当a=2时,ON=10,N点和B点重合,不能构成三角形,舍去;

当a=时, ON=5a=2.8=0.6t,解得t=

∴当t=或t=或t=时为等腰三角形．