Question

【题目】如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=3，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE＝∠AEB．

∵AE是角平分线，

∴∠DAE＝∠BAE．

∴∠BAE＝∠AEB．

∴AB＝BE．

同理AB＝AF．

∴AF＝BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB＝BE，

∴四边形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，

∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，

∴AP＝AB＝2，

∴PH＝，AH＝1，

∴DH＝5，

∴tan∠ADP＝＝．