Question

10．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，延长DB到F，使BF=BO，连接FA．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）若AE=2，ED=4，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，直线FA与⊙O相切吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）先由AB=AC得到∠ABC=∠C，再根据圆周角定理得∠C=∠D，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE∽△ADB即可；
（2）利用相似三角形的对应边成比例即可得出结果；
（3）先在Rt△ABD中利用勾股定理计算出BD=4$\sqrt{3}$，则OB=OA=2$\sqrt{3}$，证出△OAB为等边三角形，得到∠ABD=∠BAO=60°，再计算出∠BAF=30°，由此得到∠OAF=∠BAO+∠BAF=90°，然后根据切线的判定定理得直线FA与⊙O相切．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABC，
又∵∠EAB=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB；
（2）解：由（1）得：△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
∴AB²=AD•AE=2•（2+4）=12，
∴AB=2$\sqrt{3}$；
（3）解：直线FA与⊙O相切．理由如下：连接OA，如图所示：
在Rt△ABD中，∵AB=2$\sqrt{3}$，AD=AE+ED=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴OB=OA=2$\sqrt{3}$，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠ABD=∠BAO=60°，
∵BO=BF，
∴BF=AB，
∴∠F=∠BAF，
∴∠BAF=30°，
∴∠OAF=∠BAO+∠BAF=60°+30°=90°，
∴OA⊥AF，
∴直线FA与⊙O相切．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定等知识；熟练掌握圆周角定理和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．