Question

13．如图1，△ABC中，AB=14，BC=15，AC=13
（1）sinB=$\frac{4}{5}$，△ABC的面积为84；
（2）如图2，点P由B点出发，以1个单位/s的速度向C点运动，过P作PE∥AB、PD∥AC分别交AC、AB边于E、D点，设运动时间为t秒；
①是否存在唯一的t值，使四边形PEAD的面积为S？若存在，求S值；若不存在，说明理由；
②如图3，将△PDE沿DE折叠至△QDE位置，连BQ、CQ，当t为何值时，2BQ=CQ．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=BC-BD=15-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BD，再由勾股定理求出AD，即可得出sinB的值和△ABC的面积；
（2）过点C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，则PN∥CM，由平行线证出△BPN∽△BCM，得出$\frac{PN}{BP}=\frac{CM}{BC}$=$\frac{4}{5}$，求出CM=12，PN=$\frac{4}{5}t$，同理：$PE=\frac{14}{15}（15-t）$，证明四边形PEAD是平行四边形，由平行四边形的面积公式得出S_{四边形PEAD}=PE•PN=$-\frac{56}{75}{t^2}+\frac{56}{5}t=-\frac{56}{75}{（t-\frac{15}{2}）^2}+42$，即可得出结论；
（3）连接CQ，证出四边形PEAD是平行四边形，得出AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，由翻折性质得出PE=QE=AD，QD=PD=AE，由SSS证明△ADE≌△QED，得出∠AED=∠QDE，因此∠QDA=∠AEQ，由邻补角得出∠QDB=∠QEC，证明△CEQ∽△QDB，得出$\frac{CQ}{BQ}=\frac{EC}{QD}=\frac{QE}{BD}=2$，因此EC=2QD=2DP=2AE，由平行线得出比例式，得出BP=5，求出t=5即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如图1所示：
设BD=x，则CD=BC-BD=15-x，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
即14²-x²=13²-（15-x）²，
解得：x=8.4，
∴BD=8.4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}-8．{4}^{2}}$=11.2，
∴sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{11.2}{14}$=$\frac{4}{5}$，△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×15×11.2=84；
故答案为：$\frac{4}{5}$，84；
（2）存在，理由如下：过点C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，如图2所示：
则PN∥CM，
∴△BPN∽△BCM，
∴$\frac{PN}{BP}=\frac{CM}{BC}$=$\frac{4}{5}$，即$\frac{PN}{t}=\frac{CM}{15}=\frac{4}{5}$，
∴CM=12，PN=$\frac{4}{5}t$，
同理：$PE=\frac{14}{15}（15-t）$，
∵PE∥AB、PD∥AC，
∴四边形PEAD是平行四边形，
∴S_{四边形PEAD}=PE•PN=$-\frac{56}{75}{t^2}+\frac{56}{5}t=-\frac{56}{75}{（t-\frac{15}{2}）^2}+42$，
∴当t=$\frac{15}{2}$时，S有最大值为42；

（3）连接CQ，如图3所示：
∵PE∥AB、PD∥AC，
∴四边形PEAD是平行四边形，
∴AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，
由翻折可知：PE=QE=AD，QD=PD=AE，
在△ADE和△QED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=QE}&{\;}\\{AE=QD}&{\;}\\{DE=ED}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△QED（SSS），
∴∠AED=∠QDE，
∴∠QDA=∠AEQ，
∴∠QDB=∠QEC，
∵PE∥AB、PD∥AC，
∴△BDP∽△BAC，△BAC∽△PEC，
△BDP∽△PEC，
∴$\frac{PD}{BD}=\frac{CE}{PE}=\frac{CE}{QE}$，
又∠QDB=∠QEC，
∴△CEQ∽△QDB，
∴$\frac{CQ}{BQ}=\frac{EC}{QD}=\frac{QE}{BD}=2$，
∴EC=2QD=2DP=2AE，
∵PE∥AB，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac{2}{3}$，
∴CP=10，BP=5，
∴t=5；
即当t=5时，2BQ=CQ．

点评 本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、三角函数定义、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．