Question

8．问题背景
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值，我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：s=-x²+$\frac{1}{2}x（x＞0）$，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值．
提出新问题
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析问题
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0），问题就转化为研究该函数的最大（小）值了．
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的最大（小）值．
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的图象：

x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=1时，函数y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）有最小值（填“大”或“小”），是4．
（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-x²+$\frac{1}{2}$x（x＞0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y=2（x+$\frac{1}{x}$）（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．〔提示：当x＞0时，x=（$\sqrt{x}$）²）．

Answer 1

分析 （1）分别把表中x的值代入所得函数关系式求出y的对应值填入表中，并画出函数图象即可；
（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可；
（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可

解答 解：（1）填表如下：

x	…	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	4	…
y	…	8$\frac{1}{2}$	6$\frac{2}{3}$	5	4	5	6$\frac{2}{3}$	8$\frac{1}{2}$	…

（2）由函数图象可知，其顶点坐标为（1，4），故当x=1时函数有最小值，最小值为4，
故答案为：1、小、4；

（3）证明：y=2[（$\sqrt{x}$）²+$\frac{1}{（\sqrt{x}）^{2}}$]
=2[（$\sqrt{x}$）²-2+$\frac{1}{（\sqrt{x}）^{2}}$+2]
=2（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）²+4，
当$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=0时，y的最小值是4，即x=1时，y的最小值是4．

点评 本题考查的是二次函数的最值及配方法的应用，能利用数形结合求解是解答此题的关键．