Question

已知二次函数y=x²+bx-3（b为常数）的图象经过点（2，-3 ）．
（1）求b的值；
（2）如图，已知点A（1，0）、B（6，0），∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC沿x轴向左平移n个单位得到△A′B′C′，若点C′恰好落在第一象限的抛物线上，求n的值；
（3）在（2）的条件下，点M是线段A′C′上一动点（点A′、C′除外），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，当线段MN的长度达到最大时，求以MN为直径的圆与直线A′C′的另一个交点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由已知条件，得4+2b-3=-3；
∴b=-2．

（2）∵A（1，0）、B（6，0），∴BC=AB=5
∴点C（6，5）；
依题意：得 5=x²-2x-3
∴x₁=4，x₂=-2（点C′在第一象限，舍弃）
∴点C′（4，5），则n=6-4=2．

（3）由（2）得点A′（-1，0），点C′（4，5）
∴直线A′C′的解析式为y=x+1．
设点M（m，m+1）、N（m，m²-2m-3）
∴MN=（m+1）-（m²-2m-3）=-m²+3m+4=-（m-）²+
当m=时，MN最大值=，
∴点M（，）、N（，-）；
另设点P的坐标为（t，t+1），过点P作PH⊥MN于H，连接PN，
∵MN是圆的直径，∴∠MPN=90°；
又∵∠PMN=∠C′=45°，
∴△PMN为等腰直角三角形．
而∵PH⊥MN，∴PH=MN，
∴-t=×，解得t=-
∴点P（-，-）．
分析：（1）将已知点的坐标直接代入抛物线的解析式中，即可确定待定系数的值．
（2）由A、B点的坐标以及△ABC是等腰直角三角形，不难确定点C的坐标；将△ABC向左移动的过程中，点C的纵坐标不变，代入抛物线的解析式中即可得出点C′的坐标，由此得出n的值．
（3）首先求出直线A′C′的解析式，然后根据直线B′C′和抛物线的解析式，表示出点M、N的坐标，两点纵坐标的差的绝对值即线段MN的长，由此确定MN的最大值．在以MN为直径的圆中，易证得△PMN是等腰直角三角形，那么点P到MN的距离必为MN长的一半，根据这个等量关系求解即可．
点评：该题是二次函数和圆的综合题，主要涉及了利用待定系数法确定函数解析式、图形的平移等知识．（3）的描述看起来较为复杂，但通过作图后可发现难度并不算大，所以在解题过程总，一定要合理应用数形结合的数学思想．