Question

7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，AF=30cm，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若BF⊥CD，求四边形BDFC的面积．

Answer 1

分析 1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC∥AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角边”证明△BEC和△FCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=EF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；
（2）由勾股定理列式求出AB，由平行四边形的面积公式列式计算即可得解．

解答 （1）证明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
在△BEC与△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEC=∠FED}&{\;}\\{CE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是边CD的中点，
∴CE=DE，
∴四边形BDFC是平行四边形；

（2）解：∵BF⊥CD，CE=DE，
∴BD=BC=AF-AD=20cm，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$（cm），
∴四边形BDFC的面积=20×10$\sqrt{3}$=200$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．