Question

【题目】在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）证明：四边形是菱形；

（3）若，，直接写出菱形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10

【解析】

（1）根据AAS证AEF≌DEB；

（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论；

（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

∵E是AD的中点，D是BC的中点，

∴AE＝DE，BD＝CD，

在AFE和DBE中，

，

∴AFE≌DBE（AAS）；

（2）证明：由（1）知，AFE≌DBE，

则AF＝DB．

∵DB＝DC，

∴AF＝CD．

∵AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，

∴AD＝DC＝BC，

∴四边形ADCF是菱形；

（3）解：连接DF，

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形ABDF是平行四边形，

∴DF＝AB＝5，

∵四边形ADCF是菱形，

∴S菱形ADCF＝ACDF

＝×4×5

＝10．