Question

如图，在面积为48的直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥于AB于点D，点M、F、E分别在线段CD、CA、AD上，点N、G、H分别在线段DC、CB、BD上（M、N重合），且四边形DMFE，DNGH都为矩形，求两矩形面积和的最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：常规题型

分析：根据平行可证

FG

AB

+

EF

CD

=1，设

FG

AB

=x，可以求得两矩形面积和的函数式，即可求得最大值．

解答：解：∵四边形DMFE，DNGH都为矩形，
∴

FG

AB

=

CF

AC

，

AF

AC

=

EF

CD

，
∵CF+AF=AC，
∴

FG

AB

+

EF

CD

=1，
设

FG

AB

=x，则

EF

CD

=1-x，
∵△ABC面积为48，
∴AB•CD=96．
∴两矩形面积和=EF•FG=AB•x•CD•（1-x）=96x（1-x）=-96(x-

1

2

)2+24．

点评：本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了函数式求最值问题．