Question

【题目】我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:

(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);

(2)证明勾股定理;

(3)若大正方形的面积是,小正方形的面积是,求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.

【解析】

（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；

（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；

（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.

解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

在直角三角形中，两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，a2+b2= c2．

（2）∵ S大正方形=c2，S小正方形=(b-a)2，4 SRt△=4×ab=2ab，

∴ c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，

即 a2+b2= c2．

（3）∵ 4 SRt△= S大正方形- S小正方形=13-1=12,

∴ 2ab=12.

∴ (a+b)2= a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.