【题目】我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2 ,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
【答案】
(1);4
(2)
解:结论:AD= BC.
理由:如图1中,延长AD到M,使得AD=DM,连接E′M,C′M
∵B′D=DC′,AD=DM,
∴四边形AC′MB′是平行四边形,
∴AC′=B′M=AC,
∵∠BAC+∠B′AC′=180°,∠B′AC′+∠AB′M=180°,
∴∠BAC=∠MB′A,∵AB=AB′,
∴△BAC≌△AB′M,
∴BC=AM,
∴AD= BC
(3)
解:存在.
理由:如图4中,延长AD交BC的延长线于M,作BE⊥AD于E,作线段BC的垂直平分线交BE于P,交BC于F,连接PA、PD、PC,作△PCD的中线PN.
连接DF交PC于O.
∵∠ADC=150°,
∴∠MDC=30°,
在Rt△DCM中,∵CD=2 ,∠DCM=90°,∠MDC=30°,
∴CM=2,DM=4,∠M=60°,
在Rt△BEM中,∵∠BEM=90°,BM=14,∠MBE=30°,
∴EM= BM=7,
∴DE=EM﹣DM=3,
∵AD=6,
∴AE=DE,∵BE⊥AD,
∴PA=PD,PB=PC,
在Rt△CDF中,∵CD=2 ,CF=6,
∴tan∠CDF= ,
∴∠CDF=60°=∠CPF,
易证△FCP≌△CFD,
∴CD=PF,∵CD∥PF,
∴四边形CDPF是矩形,
∴∠CDP=90°,
∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴∠ADP=60°,∵∠BPF=∠CPF=60°,
∴∠BPC=120°,
∴∠APD+∠BPC=180°,
∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”,
在Rt△PDN中,∵∠PDN=90°,PD=AD=6,DN= ,
∴PN= = =
【解析】解:(1)①如图2中,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AB=AB′=AC′,
∵DB′=DC′,
∴AD⊥B′C′,
∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=120°,
∴∠B′=∠C′=30°,
∴AD= AB′= BC,
所以答案是 .
②如图3中,
∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B′AC′=180°,
∴∠B′AC′=∠BAC=90°,
∵AB=AB′,AC=AC′,
∴△BAC≌△B′AC′,
∴BC=B′C′,
∵B′D=DC′,
∴AD= B′C′= BC=4,
所以答案是4.
【考点精析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的相关知识点,需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯,销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),求出w与x的函数关系式.
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?得最大利润是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知,抛物线l1:y=ax2﹣4ax+5+4a(a<0)的顶点为A,直线l2:y=kx+3过点A,直线l2与抛物线l1及y轴分别交于B,C.
(1)求k的值;
(2)若B为AC的中点,求a的值;
(3)在(2)的条件下,直接写出不等式ax2﹣4ax+5+4a<kx+3的解集.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2 ax﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;
(3)证明:当直线l绕点D旋转时, + 均为定值,并求出该定值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某市市民“绿色出行”方式的情况,某校数学兴趣小组以问卷调查的形式,随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类),并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
种类 | A | B | C | D | E |
出行方式 | 共享单车 | 步行 | 公交车 | 的士 | 私家车 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)参与本次问卷调查的市民共有人,其中选择B类的人数有人;
(2)在扇形统计图中,求A类对应扇形圆心角α的度数,并补全条形统计图;
(3)该市约有12万人出行,若将A,B,C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式,请估计该市“绿色出行”方式的人数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为 .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】植树节期间,某单位欲购进A、B两种树苗,若购进A种树苗3棵,B种树苗5颗,需2100元,若购进A种树苗4颗,B种树苗10颗,需3800元.
(1)求购进A、B两种树苗的单价;
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵,求A种树苗至少需购进多少棵?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线y= 与y轴交于点A,与直线y=﹣ 交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=﹣ 上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是( )
A.﹣2
B.﹣2≤h≤1
C.﹣1
D.﹣1
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出,全社会对空气污染问题越来越重视,空气净化器的销量也大增,商社电器从厂家购进了A,B两种型号的空气净化器,已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元,用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同.
(1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元?
(2)在销售过程中,A型空气净化器因为净化能力强,噪音小而更受消费者的欢迎.为了增大B型空气净化器的销量,商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售,经市场调查,当B型空气净化器的售价为1800元时,每天可卖出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元,请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com