【题目】如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为 .
【答案】
【解析】解:连接PP′,如图, ∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,
∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°,
∴△CPP′为等边三角形,
∴PP′=PC=6,
∵△ABC为等边三角形,
∴CB=CA,∠ACB=60°,
∴∠PCB=∠P′CA,
在△PCB和△P′CA中
,
∴△PCB≌△P′CA,
∴PB=P′A=10,
∵62+82=102 ,
∴PP′2+AP2=P′A2 ,
∴△APP′为直角三角形,∠APP′=90°,
∴sin∠PAP′= = = .
所以答案是 .
【考点精析】解答此题的关键在于理解等边三角形的性质的相关知识,掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°,以及对解直角三角形的理解,了解解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法).
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【题目】某校在基地参加社会实践话动中,带队老师考问学生:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
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【题目】如图,已知,抛物线l1:y=ax2﹣4ax+5+4a(a<0)的顶点为A,直线l2:y=kx+3过点A,直线l2与抛物线l1及y轴分别交于B,C.
(1)求k的值;
(2)若B为AC的中点,求a的值;
(3)在(2)的条件下,直接写出不等式ax2﹣4ax+5+4a<kx+3的解集.
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【题目】如图,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图.
(1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;
(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.
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【题目】我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2 ,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.
(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示);
(2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值;
(3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.
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【题目】在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为cm.
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【题目】如图1,已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试回答下列问题:
(1)若点A的坐标为(3,1),则点B的坐标为;当x满足:时, ≤k′x;
(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y= (k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.
四边形APBQ一定是;
(3)若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积.
(4)设点A,P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.
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【题目】一次函数y=﹣x+1与反比例函数 ,x与y的对应值如下表:
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 1 | 2 | 3 |
y=﹣x+1 | 4 | 3 | 2 | 0 | ﹣1 | ﹣2 |
1 | 2 | ﹣2 | ﹣1 | ﹣ |
不等式﹣x+1>﹣ 的解为 .
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