【题目】如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.
(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示);
(2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值;
(3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.
【答案】
(1)
解:在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,
∴C(0,3a),
∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,
∴D(2,﹣a);
(2)
解:在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴AB=3﹣1=2,
∴S△ABD= ×2×a=a,
如图,设直线CD交x轴于点E,设直线CD解析式为y=kx+b,
把C、D的坐标代入可得 ,解得 ,
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x= ,
∴E( ,0),
∴BE=3﹣ =
∴S△BCD=S△BEC+S△BED= × ×(3a+a)=3a,
∴S△BCD:S△ABD=(3a):a=3,
∴k=3;
(3)
解:∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),
∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2,
∵∠BCD<∠BCO<90°,
∴△BCD为直角三角形时,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况,
①当∠CBD=90°时,则有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
②当∠CDB=90°时,则有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣ (舍去)或a= ,此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+ ;
综上可知当△BCD是直角三角形时,抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+ .
【解析】(1)令x=0可求得C点坐标,化为顶点式可求得D点坐标;(2)令y=0可求得A、B的坐标,结合D点坐标可求得△ABD的面积,设直线CD交x轴于点E,由C、D坐标,利用待定系数法可求得直线CD的解析式,则可求得E点坐标,从而可表示出△BCD的面积,可求得k的值;(3)由B、C、D的坐标,可表示出BC2、BD2和CD2 , 分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况,分别利用勾股定理可得到关于a的方程,可求得a的值,则可求得抛物线的解析式.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1:y=x2(x≥0)和抛物线C2:y= (x≥0)交于A,B两点,过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C,D,过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E,F,则 的值为( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,⊙O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合),∠ABC=30°,过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
(1)如图2,当PD∥AB时,求PD的长;
(2)如图3,当 = 时,延长AB至点E,使BE= AB,连接DE. ①求证:DE是⊙O的切线;
②求PC的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为 .
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点,其横坐标为1,则一次函数y=bx+ac的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】阅读理解
我们知道,1+2+3+…+n= ,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12 , 第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22 , …;第n行n个圆圈中数的和为 ,即n2 , 这样,该三角形数阵中共有 个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 .
(1)将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 , 由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)= , 因此,12+22+32+…+n2= .
(2)根据以上发现,计算: 的结果为 .
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【题目】某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查,绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分. 请根据图表信息回答下列问题:
视力 | 频数(人) | 频率 |
4.0≤x<4.3 | 20 | 0.1 |
4.3≤x<4.6 | 40 | 0.2 |
4.6≤x<4.9 | 70 | 0.35 |
4.9≤x<5.2 | a | 0.3 |
5.2≤x<5.5 | 10 | b |
(1)本次调查的样本为 , 样本容量为;
(2)在频数分布表中,a= , b= , 并将频数分布直方图补充完整;
(3)若视力在4.6以上(含4.6)均属正常,根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人?
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