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【题目】如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D.

(1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示);
(2)设SBCD:SABD=k,求k的值;
(3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.

【答案】
(1)

解:在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,

∴C(0,3a),

∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,

∴D(2,﹣a);


(2)

解:在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,

∴A(1,0),B(3,0),

∴AB=3﹣1=2,

∴SABD= ×2×a=a,

如图,设直线CD交x轴于点E,设直线CD解析式为y=kx+b,

把C、D的坐标代入可得 ,解得

∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x=

∴E( ,0),

∴BE=3﹣ =

∴SBCD=SBEC+SBED= × ×(3a+a)=3a,

∴SBCD:SABD=(3a):a=3,

∴k=3;


(3)

解:∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),

∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2

∵∠BCD<∠BCO<90°,

∴△BCD为直角三角形时,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况,

①当∠CBD=90°时,则有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此时抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;

②当∠CDB=90°时,则有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣ (舍去)或a= ,此时抛物线解析式为y= x2﹣2 x+

综上可知当△BCD是直角三角形时,抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3或y= x2﹣2 x+


【解析】(1)令x=0可求得C点坐标,化为顶点式可求得D点坐标;(2)令y=0可求得A、B的坐标,结合D点坐标可求得△ABD的面积,设直线CD交x轴于点E,由C、D坐标,利用待定系数法可求得直线CD的解析式,则可求得E点坐标,从而可表示出△BCD的面积,可求得k的值;(3)由B、C、D的坐标,可表示出BC2、BD2和CD2 , 分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况,分别利用勾股定理可得到关于a的方程,可求得a的值,则可求得抛物线的解析式.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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视力

频数(人)

频率

4.0≤x<4.3

20

0.1

4.3≤x<4.6

40

0.2

4.6≤x<4.9

70

0.35

4.9≤x<5.2

a

0.3

5.2≤x<5.5

10

b


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(2)在频数分布表中,a= , b= , 并将频数分布直方图补充完整;
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