【题目】如图1,已知双曲线y= (k>0)与直线y=k′x交于A、B两点,点A在第一象限,试回答下列问题:
(1)若点A的坐标为(3,1),则点B的坐标为;当x满足:时, ≤k′x;
(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y= (k>0)于P,Q两点,点P在第一象限.
四边形APBQ一定是;
(3)若点A的坐标为(3,1),点P的横坐标为1,求四边形APBQ的面积.
(4)设点A,P的横坐标分别为m,n,四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能,直接写出m,n应满足的条件;若不可能,请说明理由.
【答案】
(1)(﹣3,﹣1);﹣3≤x<0或x≥3
(2)平行四边形
(3)
解:∵点A的坐标为(3,1),
∴k=3×1=3,
∴反比例函数的解析式为y= ,
∵点P的横坐标为1,
∴点P的纵坐标为3,
∴点P的坐标为(1,3),
由双曲线关于原点对称可知,点Q的坐标为(﹣1,﹣3),点B的坐标为(﹣3,﹣1),
如图2,过点A、B分别作y轴的平行线,过点P、Q分别作x轴的平行线,分别交于C、D、E、F,
则四边形CDEF是矩形,
CD=6,DE=6,DB=DP=4,CP=CA=2,
则四边形APBQ的面积=矩形CDEF的面积﹣△ACP的面积﹣△PDB的面积﹣△BEQ的面积﹣△AFQ的面积
=36﹣2﹣8﹣2﹣8
=16
(4)
解:mn=k时,四边形APBQ是矩形,
不可能是正方形.
理由:当AB⊥PQ时四边形APBQ是正方形,此时点A、P在坐标轴上,由于点A,P可能达到坐标轴故不可能是正方形,即∠POA≠90°
【解析】解:(1)∵A、B关于原点对称,A(3,1),
∴点B的坐标为(﹣3,﹣1).
由图象可知,当﹣3≤x<0或x≥3时, ≤k′x.
所以答案是(﹣3,﹣1),﹣3≤x<0或x≥3(2)
(2)∵A、B关于原点对称,P、Q关于原点对称,
∴OA=OB,OP=OQ,
∴四边形APBQ是平行四边形.
所以答案是:平行四边形;
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【题目】如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2= 的图象交与A(1,M),B(n,﹣1)两点,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO,BO.得出以下结论:
①点A和点B关于直线y=﹣x对称;
②当x<1时,y2>y1;
③S△AOC=S△BOD;
④当x>0时,y1 , y2都随x的增大而增大.
其中正确的是( )
A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②③④
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【题目】如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C,连接AP',则sin∠PAP'的值为 .
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【题目】阅读理解
我们知道,1+2+3+…+n= ,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12 , 第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22 , …;第n行n个圆圈中数的和为 ,即n2 , 这样,该三角形数阵中共有 个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2 .
(1)将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 , 由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)= , 因此,12+22+32+…+n2= .
(2)根据以上发现,计算: 的结果为 .
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【题目】如图,直线y= 与y轴交于点A,与直线y=﹣ 交于点B,以AB为边向右作菱形ABCD,点C恰与原点O重合,抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=﹣ 上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是( )
A.﹣2
B.﹣2≤h≤1
C.﹣1
D.﹣1
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】为了增强学生的身体素质,教育部门规定学生每天参加体育锻炼时间不少于1小时,为了解学生参加体育锻炼的情况,抽样调查了900名学生每天参加体育锻炼的时间,并将调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)求参加体育锻炼时间为1小时的人数.
(2)求参加体育锻炼时间为1.5小时的人数.
(3)补全频数分布直方图.
(4)这次调查参加体育锻炼时间的中位数是 .
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