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【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2 ax﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.

(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;
(3)证明:当直线l绕点D旋转时, + 均为定值,并求出该定值.

【答案】
(1)

解:∵C(0,3).

∴﹣9a=3,解得:a=﹣

令y=0得:ax2﹣2 x﹣9a=0,

∵a≠0,

∴x2﹣2 x﹣9=0,解得:x=﹣ 或x=3

∴点A的坐标为(﹣ ,0),B(3 ,0).

∴抛物线的对称轴为x=


(2)

解:∵OA= ,OC=3,

∴tan∠CAO=

∴∠CAO=60°.

∵AE为∠BAC的平分线,

∴∠DAO=30°.

∴DO= AO=1.

∴点D的坐标为(0,1)

设点P的坐标为( ,a).

依据两点间的距离公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+(a﹣1)2

当AD=PA时,4=12+a2,方程无解.

当AD=DP时,4=3+(a﹣1)2,解得a=2或a=0,

∴点P的坐标为( ,2)或( ,0).

当AP=DP时,12+a2=3+(a﹣1)2,解得a=﹣4.

∴点P的坐标为( ,﹣4).

综上所述,点P的坐标为( ,2)或( ,0)或( ,﹣4)


(3)

解:设直线AC的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得:﹣ m+3=0,解得:m=

∴直线AC的解析式为y= x+3.

设直线MN的解析式为y=kx+1.

把y=0代入y=kx+1得:kx+1=0,解得:x=﹣

∴点N的坐标为(﹣ ,0).

∴AN=﹣ + =

将y= x+3与y=kx+1联立解得:x=

∴点M的横坐标为

过点M作MG⊥x轴,垂足为G.则AG= +

∵∠MAG=60°,∠AGM=90°,

∴AM=2AG= +2 =

+ = + = + = = =


【解析】(1)由点C的坐标为(0,3),可知﹣9a=3,故此可求得a的值,然后令y=0得到关于x的方程,解关于x的方程可得到点A和点B的坐标,最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;(2)利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°,依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°,然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1,则可得到点D的坐标.设点P的坐标为( ,a).依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长,然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可;(3)设直线MN的解析式为y=kx+1,接下来求得点M和点N的横坐标,于是可得到AN的长,然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长,最后将AM和AN的长代入化简即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小,以及对特殊角的三角函数值的理解,了解分母口诀:30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2,30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3,分子口诀:“123,321,三九二十七”.

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(1)求k的值;
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②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2 ,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.

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