【题目】如图,已知抛物线y=ax2﹣2 ax﹣9a与坐标轴交于A,B,C三点,其中C(0,3),∠BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点,若△PAD为等腰三角形,求出点P的坐标;
(3)证明:当直线l绕点D旋转时, + 均为定值,并求出该定值.
【答案】
(1)
解:∵C(0,3).
∴﹣9a=3,解得:a=﹣ .
令y=0得:ax2﹣2 x﹣9a=0,
∵a≠0,
∴x2﹣2 x﹣9=0,解得:x=﹣ 或x=3 .
∴点A的坐标为(﹣ ,0),B(3 ,0).
∴抛物线的对称轴为x=
(2)
解:∵OA= ,OC=3,
∴tan∠CAO= ,
∴∠CAO=60°.
∵AE为∠BAC的平分线,
∴∠DAO=30°.
∴DO= AO=1.
∴点D的坐标为(0,1)
设点P的坐标为( ,a).
依据两点间的距离公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+(a﹣1)2.
当AD=PA时,4=12+a2,方程无解.
当AD=DP时,4=3+(a﹣1)2,解得a=2或a=0,
∴点P的坐标为( ,2)或( ,0).
当AP=DP时,12+a2=3+(a﹣1)2,解得a=﹣4.
∴点P的坐标为( ,﹣4).
综上所述,点P的坐标为( ,2)或( ,0)或( ,﹣4)
(3)
解:设直线AC的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得:﹣ m+3=0,解得:m= ,
∴直线AC的解析式为y= x+3.
设直线MN的解析式为y=kx+1.
把y=0代入y=kx+1得:kx+1=0,解得:x=﹣ ,
∴点N的坐标为(﹣ ,0).
∴AN=﹣ + = .
将y= x+3与y=kx+1联立解得:x= .
∴点M的横坐标为 .
过点M作MG⊥x轴,垂足为G.则AG= + .
∵∠MAG=60°,∠AGM=90°,
∴AM=2AG= +2 = .
∴ + = + = + = = =
【解析】(1)由点C的坐标为(0,3),可知﹣9a=3,故此可求得a的值,然后令y=0得到关于x的方程,解关于x的方程可得到点A和点B的坐标,最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴;(2)利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°,依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°,然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1,则可得到点D的坐标.设点P的坐标为( ,a).依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长,然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可;(3)设直线MN的解析式为y=kx+1,接下来求得点M和点N的横坐标,于是可得到AN的长,然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长,最后将AM和AN的长代入化简即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识,掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小,以及对特殊角的三角函数值的理解,了解分母口诀:30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2,30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3,分子口诀:“123,321,三九二十七”.
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【题目】如图1,在 中,以 为直径的⊙O,交 于点 ,且 ,交线段 的延长线于点 ,连接 ,过点 作 于点 .
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)在 的内部作 ,使 , 分别交于 、 于点 、 ,交⊙O于点 ,若 ,求 的长.
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【题目】如图,已知,抛物线l1:y=ax2﹣4ax+5+4a(a<0)的顶点为A,直线l2:y=kx+3过点A,直线l2与抛物线l1及y轴分别交于B,C.
(1)求k的值;
(2)若B为AC的中点,求a的值;
(3)在(2)的条件下,直接写出不等式ax2﹣4ax+5+4a<kx+3的解集.
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【题目】如图,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置…,则正方形铁片连续旋转2017次后,点P的坐标为 .
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【题目】如图,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图.
(1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;
(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.
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【题目】我们定义:如图1,在△ABC看,把AB点绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为 .
(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
(3)如图4,在四边形ABCD,∠C=90°,∠D=150°,BC=12,CD=2 ,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
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【题目】在三角形纸片ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AC=30cm,将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为BD(如图1),减去△CDE后得到双层△BDE(如图2),再沿着过△BDE某顶点的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形,则所得平行四边形的周长为cm.
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【题目】“世界那么大,我想去看看”一句话红遍网络,骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱,各种品牌的山地自行车相继投放市场.顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元,今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元,若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同,则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%.
(1)求今年6月份A型车每辆销售价多少元(用列方程的方法解答);
(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多? A、B两种型号车的进货和销售价格如表:
A型车 | B型车 | |
进货价格(元/辆) | 1100 | 1400 |
销售价格(元/辆) | 今年的销售价格 | 2400 |
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