Question

【题目】如图， 平分 ， 于点 ， ，点 P从 出发，以 的速度沿线段 向终点 运动；同时，点 从 出发，以 的速度沿射线 运动，当点 P到达终点 时，则两点均停止运动. 那么经过 ，能使 .

Answer 1

【答案】或
【解析】解：（1）当P、Q移动到如图1所示位置时，过点A作ACOM于点C，

图1
设经过x秒时，AP=AQ，此时BP=x，OP=6-x，OQ=3x，
∵O A 平分 ∠ M O N ，∴AC=AB，又∵AP=AQ，∴ACQABP，∴CQ=BP，
∵∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO，OA=OA，∴ACOABO，∴CO=BO，
∴CO-CQ=BO-BP，即OQ=OP，即：6-x=3x，解得：x=1.5.
（2）当P、Q移动到如图2所示位置时，过点A作ACOM于点C，

图2
设经过y秒时，AP=AQ，此时BP=y，OP=6-y，OQ=3y，
由（1）可得ACQABP，∴CQ=BP=y，
由（1）可得ACOABO，∴CO=BO，
即：OQ-CQ=BO，即3y-y=6，解得：y=3.
（3）当点 P在（2）的基础上继续移动，到达终点 O 时，此过程无AP=AQ的情形.
所以答案是：1.5或3.
【考点精析】利用角平分线的性质定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．