Question

在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B、C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y=x²+bx+c过点B、C，代入求出解析式．
（2）由y=x²-4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∵B（3，0）在直线BC上，
∴3k+3=0，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵抛物线y=x²+bx+c过点B、C，
∴

9+3b+c=0 c=3

解得：

b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；
（2）由y=x²-4x+3．
可得D（2，-1），A（1，0），
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3

2

，
如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=

1

2

AB=1，
过点A作AE⊥BC于点E，
则有∠AEB=90°，
∴BE=AE=

2

，CE=2

2

，
在△AEC与△AFP中，
∵∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP，
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

，
解得：PF=2，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理等，对学生综合运用知识的能力要求较高．