Question

如图，一个防汛坝的横断面是梯形ABCD，坝顶BC的宽为10米，坝高为5米，斜坡AB的坡比i₁=1：1.5，斜坡CD的坡比i₂=1：0.8．一次由于上游突降大雨，造成河水迅速上涨，为了及时加高坝身，只能用坝身后一侧CD处的土临时加高，现决定将CD一侧宽1米的土方全部用来加高坝身，且使坝身两侧的坡度与原来保持一致．问这样能使坝高增加多少米？（精确到0.1米）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题

专题：

分析：设坝高增加x米，坝的厚度为a米就可以表示出挖方的体积，作EP⊥BC于P，FQ⊥BC于Q由坡比就可以求出BP=1.5x，MQ=0.8x．再根据所以新增上部土方体积=挖方体积建立方程求出其解即可．

解答：解：设坝高增加x米，坝的厚度为a米．由题意，得
挖掉的土方总体积为：V=Sh=1×5a=5a，
作EP⊥BC于P，FQ⊥BC于Q．
∵斜坡AB的坡比i₁=1：1.5，斜坡CD的坡比i₂=1：0.8，
∴

EP

BP

=

1

1.5

，

FQ

CQ

=

1

0.8

∴BP=1.5x，MQ=0.8x．
EF=PQ=BC-BP-QN-CN=10-1.5x-0.8x-1=9-2.3x．
所以新增上部土方体积=EBP及厚度方向组成的四棱锥的体积+PQEF与厚度方向组成的长方体的体积+FNQ及厚度方向组成的四棱锥的体积
∴

1

3

×1.5x×ax+（9-2.3x）ax+

1

3

×0.8x×ax=5a，
整理：

23

15

x²-9x+5=0
解得：x₁=0.6 x₂=5.2（舍去）
故坝增高0.6米．

点评：本题考查了解直角三角形的运用，四棱锥的体积的运用，长方体的体积的运用，坡度问题的运用，解答时根据所以新增上部土方体积=挖方体积建立方程是关键．