Question

9．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．
（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A（-3，0）、B（1，0）代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；
（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形；
（3）首先求出直线CA的解析式为y=k₁x+b₁，再联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

解答 解：（1）把A（-3，0）、B（1，0）分别代入y=ax²+bx+3，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=9a-3b+3}\\{0=a+b+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
则该抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．
因为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
所以顶点C的坐标为（-1，4）；

（2）如图1，假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．
由∠CDA=90°得∠1+∠2=90°．
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1，
又∵∠CED=∠DOA=90°，
∴△CED∽△DOA，
∴$\frac{CE}{ED}$=$\frac{DO}{AO}$．
设D（0，c），
则 $\frac{1}{4-c}$=$\frac{c}{3}$．
变形，得c²-4c+3=0，
解得c₁=3，c₂=1．
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形．

（3）①若点P在对称轴右侧（如图2），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．
延长CP交x轴于M，
∴AM=CM，
∴AM²=CM²．
设M（m，0），则（m+3）²=4²+（m+1）²，
∴m=2，即M（2，0）．
设直线CM的解析式为y=k₁x+b₁，
则 $\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{1}+{b}_{1}=4}\\{2{k}_{1}+{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{b}_{1}=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CM的解析式y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$．联立 $\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）．
②若点P在对称轴左侧（如图3），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH．
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．
由△CFA∽△CAH得 $\frac{CA}{AF}$=$\frac{CH}{AH}$=2，
由△FNA∽△AHC得 $\frac{FN}{AH}$=$\frac{NA}{HC}$=$\frac{AF}{CA}$=$\frac{1}{2}$．
∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，
∴点F坐标为（-5，1）．
设直线CF的解析式为y=k₂x+b₂，则$\left\{\begin{array}{l}{-{k}_{2}+{b}_{2}=4}\\{-5{k}_{2}+{b}_{2}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{3}{4}}\\{{b}_{2}=\frac{19}{4}}\end{array}\right.$．
∴直线CF的解析式y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{19}{4}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x+\frac{19}{4}}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{4}}\\{y=\frac{55}{16}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）．
∴P（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．
∴满足条件的点P坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（-$\frac{7}{4}$，$\frac{55}{16}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．