Question

7．如图1，点A、B分别为x轴、y轴正半轴上一点，P为第二象限一点，PA⊥PB，PA交y轴于点C，且C为PA的中点．
（1）求证：∠PBO=∠PAO；
（2）已知A（a，0）、C（0，b），若（a-3）²+$|\begin{array}{l}{b-2}\\{\;}\end{array}|$²=0，求P点的坐标；
（3）如图2，若PA=PB，求$\frac{OC}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥PB，得到∠P=90°，根据对顶角相等得到∠PCB=∠ACO，由∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∠AOC+∠OAC+∠ACO=180°，即可解答；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，先利用非负数的性质求出a，b的值，确定点A，C的坐标，得到OA=3，OC=2，再利用平行线的性质得到对应线段程比例，得到$\frac{OC}{PD}=\frac{OA}{AD}=\frac{AC}{PA}$，根据C为PA的中点，得到$\frac{2}{PD}=\frac{3}{AD}=\frac{1}{2}$，求出PD=4，AD=6，得到OD=AD-OA=6-3=3，所以P点的坐标（-3，4）．
（3）设PA=PB=2a，由C为PA的中点，得到PC=AC=a，利用勾股定理求出BC=$\sqrt{P{B}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，再证明△PBC～△OAC，得到$\frac{PB}{PC}=\frac{OA}{OC}$，从而得到OA=2OC，利用勾股定理求出OC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，即可解答．

解答 解：（1）∵PA⊥PB，
∴∠P=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠P=∠AOC，
∵∠PCB=∠ACO，
∠P+∠PBC+∠PCB=180°，
∠AOC+∠OAC+∠ACO=180°，
∴∠PBC=∠OAC，
即∠PBO=∠PAO；
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，PE⊥y轴于点E，

∵（a-3）²+$|\begin{array}{l}{b-2}\\{\;}\end{array}|$²=0，
∴a-3=0，b-2=0，
∴a=3，b=2，
∴A（3，0）、C（0，2），
∴OA=3，OC=2，
∵PD⊥x轴，
∴OC∥PD，
∴$\frac{OC}{PD}=\frac{OA}{AD}=\frac{AC}{PA}$，
∵C为PA的中点，
∴$\frac{2}{PD}=\frac{3}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴PD=4，AD=6，
∴OD=AD-OA=6-3=3，
∴PE=3，
∴P点的坐标（-3，4）．
（3）设PA=PB=2a，
∵C为PA的中点，
∴PC=AC=a，
∵PA⊥PB，
∴∠P=90°，
∴BC=$\sqrt{P{B}^{2}+P{C}^{2}}=\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵∠P=∠AOC=90°，∠PCB=∠ACO，
∴△PBC～△OAC，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{OA}{OC}$
∴$\frac{2a}{a}=\frac{OA}{OC}$，
∴OA=2OC，
在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²，
即4OC²+OC²=a²，
OC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∴$\frac{OC}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}a}{\sqrt{5}a}=\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了三角形内角和、平行线的性质、相似三角形的性质与判定，在（3）中证明△PBC～△OAC是解决问题的关键．