Question

已知直角△ABC中，∠C=90°，CA=5，CB=12，从C点向∠A、∠B的平分线作垂线，垂足分别为D、E，那么DE=

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：根据同角的余角相等求得∠DCN=∠DBC，进而求得∠DCN=∠DBF，∠CND=∠BFD，根据三角形内角和定理求得∠CND=∠BFD，得出∠BCD=∠BFD，从而求得BC=BF=12，CD=DF，同理证得AC=AG=5，CE=EG，根据三角形的中位线定理求得ED=

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2

GF，依据勾股定理求得AB=13，根据BF+AG=AB+GF，BC+AC=AB+GF，求得GF=4，即可求得DE．

解答：解：∵∠C=90°，CF⊥BD，
∴∠DCN=∠DBC，
∴∠BCD=∠BNC，
∵∠DBC=∠DBF，
∴∠DCN=∠DBF，
∵∠BDF=∠CDN=90°，
∴∠CND=∠BFD，
∴∠BCD=∠BFD，
∴BF=BC=12，
∴CD=DF，
同理可知AC=AG=5，CE=EG，
∴DE=

1

2

GF，
∵AB=

AC2+BC2

=

52+122

=13，BF+AG=AB+GF，
∴BC+AC=AB+GF，
即12+5=13+GF，
∴GF=4，
∴DE=2．

点评：本题考查了勾股定理的应用，三角形的内角和定理，余角的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质等，求得GF的长是本题的关键．