Question

3．已知关于x的一元二次方程mx²-（2m+n）x+m+n=0
（1）求证：方程有实数根1；
（2）若m+n=2，m为正整数，且方程有两个不相等的整数根，求m、n．

Answer 1

分析 （1）由方程为一元二次方程可得出m≠0，利用分解因式法解方程可得出x₁=1、x₂=$\frac{m+n}{m}$，此题得证；
（2）由m+n=2以及m为正整数可得出m=1或2，当m=1时可得出n=1、x₂=2≠1符合题意；当m=2时可得出n=0、x₂=1不符合题意．综上即可得出m、n的值．

解答 （1）证明：∵方程为一元二次方程，
∴m≠0．
mx²-（2m+n）x+m+n=（mx-m-n）（x-1）=0，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{m+n}{m}$．
∴方程有实数根1；
（2）解：∵m+n=2，m为正整数，
∴m=1或2．
当m=1时，n=1，
x₂=$\frac{m+n}{m}$=2≠1，
∴方程有两个不相等的整数根，符合题意；
当m=2时，n=1，
x₂=$\frac{m+n}{m}$=1，
∴方程有两个相等的整数根，不合题意．
故m=n=1．

点评 本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解方程找出x₁=1、x₂=$\frac{m+n}{m}$是解题的关键．