【题目】如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合.展开后,折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②AD:AE=2;③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形;⑤BE=2 OG。其中正确结论的序号是______.
【答案】①④⑤
【解析】①根据正方形性质和折叠性质得出和
,即可求解;
②根据直角三角形的直角边小于斜边,即可得出结论;
③根据角平分线的性质得出三角形的高相等,再分析底边长即可;
④证明四条边相等即可;
⑤由折叠的性质设进一步表示
的长度,结合相似三角形进行求解即可.
因为在正方形纸片ABCD中,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的点F重合,
所以
可求, 所以①正确,
因为tan∠AED=
因为AE=EF<BE,
所以
因为AD=AB,因此②错.
因为AG=FG>OG,△AGD与△OGD同高,
所以 所以③错.
根据题意可得:AE=EF,AG=FG,又因为EF∥AC,
所以∠FEG=∠AGE,又因为∠AEG=∠FEG,
所以∠AEG=∠AGE,所以AE=AG=EF=FG,
所以四边形AEFG是菱形,因此④正确.
由折叠的性质设BF=EF=AE=1,则
由此可求,
因为EF∥AC,
所以△DOG∽△DFE,
所以
∴
在直角三角形BEF中,
所以△BEF是等腰直角三角形,同理可证△OFG是等腰直角三角形,
在等腰直角和等腰直角
中,
所以BE=2OG.因此⑤正确.
故答案为:①④⑤.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(﹣1,0)、C(0,﹣3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求出此时点M的坐标.
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【题目】某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商店决定提高销售价格.经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其它因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少(总利润=总收入﹣总成本)?
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【题目】下列变形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程x=
两边同除以
,得x=1;
③由方程6x﹣4=x+4移项,得7x=0;
④由方程2﹣两边同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).
错误变形的个数是( )个.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】已知数轴上两点A,B对应的数分别为﹣1、3,点P为数轴上一动点.
(1)若点P到点A、点B的距离相等,写出点P对应的数 ;
(2)若点P到点A,B的距离之和为6,那么点P对应的数 ;
(3)点A,B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动,同时P点以6个单位长度/分的速度从O点向左运动.当遇到A时,点P立刻以同样的速度向右运动,并不停地往返于点A与点B之间,求当点A与点B重合时,点P所经过的总路程是多少?
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【题目】“囧”(jiǒng)是一个风靡网络的流行词,像一个人脸郁闷的神情.如图所示,一张边长为8cm的正方形的纸片,剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形得到一个“囧”字图案(阴影部分).设剪去的小长方形长和宽分别为xcm、ycm,剪去的两个小直角三角形的两直角边长也分别为xcm、ycm.
(1)用含有x、y的代数式表示图中“囧”(阴影部分)的面积.
(2)当x=8,y=2时,求此时“囧”(阴影部分)的面积.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.a>0
B.当x≥1时,y随x的增大而增大
C.c<0
D.当﹣1<x<3时,y>0
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【题目】在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想,下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答题目后提出的(探究).
(提出问题)两个有理数a、b满足a、b同号,求的值.
(解决问题)解:由a、b同号,可知a、b有两种可能:①当a,b都正数;②当a,b都是负数.①若a、b都是正数,即a>0,b>0,有|a|=a,|b|=b,则=
=1+1=2;②若a、b都是负数,即a<0,b<0,有|a|=﹣a,|b|=﹣b,则
=
=(﹣1)+(﹣1)=﹣2,所以
的值为2或﹣2.
(探究)请根据上面的解题思路解答下面的问题:
(1)两个有理数a、b满足a、b异号,求的值;
(2)已知|a|=3,|b|=7,且a<b,求a+b的值.
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E.
(1)当点D在边BC上时,如图①,求证:DE+DF=AC.
(2)当点D在边BC的延长线上时,如图②;当点D在边BC的反向延长线上时,如图③,请分别写出图②、图③中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明.
(3)若AC=6,DE=4,则DF= .
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