Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．

（1）求顶点A的坐标

（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；

（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；

（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．

解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，

解得m=2，

∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，

∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；

（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.

∵直线OB的解析式为y=﹣x，

故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），

∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，

∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，

当n=时，S△OPB的最大值为．

此时y=﹣n2+2n=，

∴P（，）；

（3）∵直线OA的解析式为y=x，

∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，

联立，

∴﹣（x﹣a）2+a=x，

∴x1=a，x2=a﹣1，

即C、D两点间的横坐标的差为1，

∴CD=．