Question

【题目】一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角α的顶点与坐标原点O重合，α的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．

（1）求x1（用含α的式子表示）；y1（用含α的式子表示）；

（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．

①判断y1与x2的数量关系，并证明；

②写出y1+y2的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）cosα，sinα；（2）①结论：y1=﹣x2．理由解析；②1＜y1+y2≤．

【解析】

（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OPcosα，PF=OPsinα，由此即可解决问题；

（2）①过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；

②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为.

（1）如图作PF⊥x轴于F，则∠OFP=90°，PF=y1，OF=x1，

在Rt△OFP中，sinα=，cosα=，

∴OF=OPcosα，PF=OPsinα，

又∵OP=1，

∴x1=cosα，y1=sinα；

（2）①结论：y1=﹣x2．

理由：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．

∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，

∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠QOE=90°，

∴∠QOE=∠OPF，

∵OQ=OP，

∴△QOE≌△OPF，

∴PF=OE，

∵P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴PF=y1，OE=﹣x2，

∴y1=﹣x2

②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，

∵y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，

∵四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，

∴当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为，

∴1＜y1+y2≤，

故答案为1＜y1+y2≤．