Question

【题目】已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB. 过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H.

（1）求证：∠BCG=∠EBG；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.

【解析】试题分析：（1）由圆周角定理的推论可知∠ACB=90°，由余角的性质可得∠CAB=∠BCG.根据CE∥AB可证∠CAB=∠ACE，再由等弧所对的圆周角相等可得∠ACE=∠EBG，从而可证明结论成立.

（2）由可得， 设GH=a，利用锐角三角函数的概念表示出GB=2a，CG=4a. 再根据△ECH∽△BGH可求出的值.

证明：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°.

∵CG⊥AB于点G，

∴∠ACB=∠ CGB =90°.

∴∠CAB=∠BCG.

∵CE∥AB，

∴∠CAB=∠ACE.

∴∠BCG=∠ACE

又∵∠ACE=∠EBG

∴∠BCG=∠EBG.

（2）解：∵

∴，

由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB

∴在Rt△HGB中， .

由（1）知，∠BCG =∠CAB

在Rt△BCG中， .

设GH=a，则GB=2a，CG=4a.CH=CG－HG=3a.

∵EC∥AB，

∴∠ECH =∠BGH，∠CEH =∠GBH

∴△ECH∽△BGH．

∴．