Question

已知等腰直角三角形ABC的腰长为4，半圆的直径在△ABC的边上，且半圆的弧与△ABC的其他两边相切，则半圆的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：有两种情况：①是直径在斜边上，首先连接OD，由切线的性质，易得OD⊥AB，即可得OD是△ABC的中位线，继而求得OD的长．②是直径在腰上，首先连接OD，由切线的性质，易得OD⊥BC，即可根据勾股定理求得OD的长．

解答：解：①∵半圆的直径在△ABC的斜边上，且半圆的弧与△ABC的两腰相切，切点为D、E，
如图，连接OD，OA，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∴OD∥AC，
∵O为BC的中点，
∴OD=

1

2

AC=2．
②∵半圆的直径在△ABC的腰上，且半圆的弧与△ABC的斜边相切，切点为D，
如图2，连接OD，设半圆的半径为r，
∴OB=4-r，
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
∴∠B=45°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴OD=BD=r，
∴2r²=（4-r）²，解得r=-4+4

2

，r=-4-4

2

（舍去），
故答案为2或-4+4

2

．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．