Question

12．已知x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求的a取值范围．
（2）是否存在实数a，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由．
（3）求使（x₁+1）（x₂+1）为负整数的实数a的整数值．

Answer 1

分析 （1）直接根据判别式及一元二次方程的定义即可得出a的取值范围；
（2）由x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，可得x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-6}$，x₁•x₂=$\frac{a}{a-6}$，△=（2a）²-4a（a-6）=24a＞0，又由-x₁+x₁x₂=4+x₂，即可求得a的值；
（3）根据根与系数的关系得出（x₁+1）（x₂+1）的表达式，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ a-6≠0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}△=4{a}^{2}-4a（a-6）≥0\\ a-6≠0\end{array}\right.$，
解得a＞0且a≠6；

（2）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（a-6）x²+2ax+a=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-6}$，x₁•x₂=$\frac{a}{a-6}$，△=（2a）²-4a（a-6）=24a＞0，
∴a＞0，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₂+x₁，
即$\frac{a}{a-6}$=4-$\frac{2a}{a-6}$，
解得：a=24；

（3）∵由（2）知，x₁+x₂=-$\frac{2a}{a-6}$，x₁•x₂=$\frac{a}{a-6}$，
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=-$\frac{2a}{a-6}$+$\frac{a}{a-6}$+1．
∵（x₁+1）（x₂+1）为负整数，
∴-$\frac{2a}{a-6}$+$\frac{a}{a-6}$+1＜0，即$\frac{-6}{a-6}$＜0．
∵a＞0且a≠6，
∴a=7，8，9，12．

点评 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解答此题的关键．