Question

11．等腰三角形ABC内接于圆O，AB=AC，AB的垂直平分线MN与边AB交于点M，与AC所在的直线交于点N，若∠ANM=70°，则劣弧$\widehat{AC}$所对的圆心角的度数为160°或20°．

Answer 1

分析 此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况解答，由线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质即可求得答案．

解答 解：当∠A 为锐角时，如图1，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠AMN=90°，
∵∠ANM=70°，
∴∠A=20°，
∵AB=AC，
∴∠B=80°，
∴劣弧$\widehat{AC}$所对的圆心角的度数为：160°；
当∠A为钝角时，如图2，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠AMN=90°，
∵∠ANM=70°，
∴∠BAN=20°，
∴∠BAC=160°，
∵AB=AC，
∴∠B=10°，
∴劣弧$\widehat{AC}$所对的圆心角的度数为：20°，
故答案为：160°或20°．

点评 本题考查的是三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，此类题需要注意的是要分两种情况解答，考生在考虑问题时要全面．