如图1.已知:A.抛物线L1:y=ax2+bx+c经过A.B两点.且点A是抛物线的顶点.直线AC与抛物线的另一个交点是D．(1)求抛物线L1的解析式和直线AC的解析式,(2)E是抛物线L1上一点.当△EAD的面积等于△OBD的面积的一半时.求点E的坐标,(3)如图2.将抛物线L1向下平移m个单位得到抛物线L2.且抛物线L2的顶点为点P.交x轴负半轴于点M.交射线AC于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图1，已知：A（0，-2），B（-2，0），C（1，0），抛物线L₁：y=ax²+bx+c经过A、B两点，且点A是抛物线的顶点，直线AC与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线L₁的解析式和直线AC的解析式；
（2）E是抛物线L₁上一点，当△EAD的面积等于△OBD的面积的一半时，求点E的坐标；
（3）如图2，将抛物线L₁向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线L₂，且抛物线L₂的顶点为点P，交x轴负半轴于点M，交射线AC于点N，作NQ⊥x轴于点Q．
①求证：∠NMQ=45°；
②当NP平分∠MNQ时，求m的值．

分析（1）根据点AC的坐标来求直线AC的解析式；设抛物线方程为顶点式y=ax²-2（a≠0），然后把点A的坐标代入来求a的值即可；
（2）由抛物线与直线交点的求法得到点D的坐标为（4，6），作DE⊥x轴于H，则OH=4．作EF∥y轴，交直线AD于F，结合“分割法”来求三角形的面积进行解答．需要分类讨论：当E在直线AD下方时（0＜t＜4）和当E在直线AD上方两种情况来求E点的坐标；
（3）①由抛物线的平移规律得到抛物线L₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2-m．结合坐标与图形性质求得MQ=NQ，由此证得结论；
②设直线MN交y轴于T，过点N作NH⊥y轴于点H．由角平分线的性质和等腰三角形的判定推知：△MOT，△NHT均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质列出关于m的方程$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2m+4}$）=$\sqrt{2m+4}$+m+2，利用换元法求得m的值即可．

解答解：（1）如图1，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（0，-2），C（1，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
则直线AC的解析式为y=2x-2．
设抛物线方程为y=ax²-2（a≠0），
把B（-2，0）代入，得
0=4a-2则a=$\frac{1}{2}$，
则抛物线L₁：y=$\frac{1}{2}$x²-2；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴点D的坐标为（4，6），
∴S_△OBD=6，
∴S_△EAD=3．
如图1，作DH⊥x轴于H，则OH=4．
作EF∥y轴，交直线AD于F，
设E（t，$\frac{1}{2}$t²-2），则F（t，2t-2）．
当E在直线AD下方时（0＜t＜4），EF=2t-$\frac{1}{2}$t²，
S_△EAD=S_△EFA+S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•OG+$\frac{1}{2}$EF•GH=$\frac{1}{2}$EF•OH=2（2t-$\frac{1}{2}$t²）=3，
解得t=1或t=3，
∴E（1，-$\frac{3}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）；
当E在直线AD上方时（t＜0或t＞4），EF=$\frac{1}{2}$t²-2t．
当t＜0时，S_△EAD=S_△EFD-S_△EFA=$\frac{1}{2}$EF•OH=2（$\frac{1}{2}$t²-2t）=3；
当t＞4时，S_△EAD=S_△EFA-S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•OH=2（$\frac{1}{2}$t²-2t）=3；
解得 t=2±$\sqrt{7}$，
∴E（2+$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$+2$\sqrt{7}$）或（2-$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$-2$\sqrt{7}$）．
综上，E的坐标为：（1，-$\frac{3}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）或（2+$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$+2$\sqrt{7}$）或（2-$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$-2$\sqrt{7}$）．

（3）①抛物线L₂的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2-m，
∴P（0，-2-m），M（-$\sqrt{2m+4}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2-m}\end{array}\right.$ 得N（2+$\sqrt{2m+4}$，2+2$\sqrt{2m+4}$），
∴Q（2+$\sqrt{2m+4}$，0），
∴MQ=2+$\sqrt{2m+4}$+$\sqrt{2m+4}$+=2+2$\sqrt{2m+4}$=NQ，
∴∠NMQ=45°；
②如图2，设直线MN交y轴于T，过点N作NH⊥y轴于点H．
∵PN平分∠MNQ，NQ∥TP
∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN，
∴PT=NT，
∵△MQT，△NHT均为等腰直角三角形，
∴MQ=NQ，HT=HN，
∴NT=$\sqrt{2}$NH，PT=TO+OP=OM+OP
∴$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2m+4}$）=$\sqrt{2m+4}$+m+2
令$\sqrt{m+2}$=t，则t²+（$\sqrt{2}$-2）t-2$\sqrt{2}$=0，
解得t=2或t=-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴$\sqrt{m+2}$=2，
∴m=2．

点评本题考查了二次函数的解析式的求法，等腰直角三角形的判定与性质的综合能力培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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