Question

5．已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
（3）若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB=$\frac{1}{3}$∠BOC，∠COF=$\frac{2}{3}$∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）首先求得∠BOC的度数，然后根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF即可求解；
（2）根据角的平分线的定义和角的和差可得∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC），即可求解；
（3）根据角的等分线的定义可得∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{2}{3}$∠BOC+$\frac{2}{3}$∠AOC=$\frac{2}{3}$（∠BOC+∠AOC）=$\frac{2}{3}$∠AOB，即可求解．

解答 解：（1）∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°，
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=30°+15°=45°；
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（∠BOC+∠AOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$a；
（3）∵∠EOB=$\frac{1}{3}$∠BOC，
∴∠EOC=$\frac{2}{3}$∠BOC，
又∵∠COF=$\frac{2}{3}$∠AOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{2}{3}$∠BOC+$\frac{2}{3}$∠AOC=$\frac{2}{3}$（∠BOC+∠AOC）=$\frac{2}{3}$∠AOB=$\frac{2}{3}$a．

点评 本题考查了角度的计算，理解角的平分线的定义以及角度的和、差之间的关系是关键．