Question

20．如图，在△ABC中，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，D为BC边的中点，连接DE，DF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若AB=AC，求证：BE=CF；
（3）若AB＜AC，求证：BE＜CF．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FD=$\frac{1}{2}$BC，ED=$\frac{1}{2}$CB，进而可得ED=DF；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）在AC边截取AN=AB，过N作NH⊥AB，同理可得BE=NH，根据等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，
∴∠CFB=90°，∠CEB=90°，
在Rt△BFC中，
∵D是BC的中点，
∴FD=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BEC中，
∵D是BC的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$CB，
∴DE=DF；

（2）在△ABE与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AFC=90°}\\{∠A=∠A}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；

（3）在AC截取AN=AB，过N作NH⊥AB，
同理可得BE=NH，
∵NH＜CF，
∴BE＜CF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．