【题目】如图1,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=8,BC=6,点M从点D出发,以每秒2个单位长度的速度向点A运动,同时,点N从点B出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.过点N作NP⊥AD于点P,连接AC交NP于点Q,连接MQ.设运动时间为t秒.
(1)AM= ,AP= .(用含t的代数式表示)
(2)当四边形ANCP为平行四边形时,求t的值
(3)如图2,将△AQM沿AD翻折,得△AKM,是否存在某时刻t,
①使四边形AQMK为为菱形,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由
②使四边形AQMK为正方形,求 出AC的长.
【答案】(1)8﹣2t,2+t;(2)t=2;(3)
【解析】
(1)由DM=2t,根据AM=AD-DM即可求出AM=8-2t;先证明四边形CNPD为矩形,得出DP=CN=6-t,则AP=AD-DP=2+t;
(2)根据四边形ANCP为平行四边形时,可得6-t=8-(6-t),解方程即可;
(3))①由NP⊥AD,QP=PK,可得当PM=PA时有四边形AQMK为菱形,列出方程6-t-2t=8-(6-t),求解即可,
②要使四边形AQMK为正方形,由∠ADC=90°,可得∠CAD=45°,所以四边形AQMK为正方形,则CD=AD,由AD=8,可得CD=8,利用勾股定理求得AC即可.
解:(1)如图1.
∵四边形CNPD为矩形 ∴DP=CN=BC﹣BN=6﹣t,
∴AP=AD﹣DP=8﹣(6﹣t)=2+t;
故答案为:8﹣2t,2+t.
(2)∵四边形ANCP为平行四边形时,CN=AP,
∴6﹣t=8﹣(6﹣t),解得t=2,
(3)①存在时刻t=1,使四边形AQMK为菱形.理由如下:
∵NP⊥AD,QP=PK
∴当PM=PA时有四边形AQMK为菱形
∴6﹣t﹣2t=8﹣(6﹣t),解得t=1,
②要使四边形AQMK为正方形.
∵∠ADC=90°,∴∠CAD=45°
∴四边形AQMK为正方形,则CD=AD,
∵AD=8,∴CD=8,
∴AC=.故答案为:
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【题目】二次函数y=的图象如图,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3…An在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上,点C1,C2,C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形A0B1A1C1,四边形A1B2A2C2,四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An1BnAn
=60°,菱形An﹣1BnAnCn的周长为 .
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【题目】关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.
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【题目】如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,抛物线的顶点坐标A(1,3),与x轴的一个交点B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:
①2a+b=0;②abc>0;③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;④抛物线与x轴的另一个交点是(﹣1,0);⑤当1<x<4时,有y2<y1,
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②④⑤
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【题目】如图,抛物线y=x22x+3的图象与x轴交于A.B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A. B.C的坐标;
(2)判断以点A、C、D为顶点的三角形的形状,并说明理由;
(3)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A.B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,可得矩形PQNM.如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长.
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【题目】美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB =xm,花园面积S.
(1)求S关于x的函数关系式,求x的取值范围;
(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
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【题目】反比例函数y=的图象如图所示,A,P为该图象上的点,且关于原点成中心对称.在△PAB中,PB∥y轴,AB∥x轴,PB与AB相交于点B.若△PAB的面积大于12,则关于x的方程(a-1)x2-x+=0的根的情况是________________.
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【题目】节能又环保的油电混合动力汽车,既可以用油做动力行驶,也可以用电做动力行驶,某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,则费用为80元;若完全用电做动力行驶,则费用为30元,已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元.
(1)求:汽车行驶中每千米用电费用是多少元?甲、乙两地的距离是多少千米?
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶,且所需费用不超过50元,则至少需要用电行驶多少千米?
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【题目】如图1,抛物线C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G.
(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;
(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值:
(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由.
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