Question

【题目】已知开口向上的抛物线交轴于点，，函数值的最小值是．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点为抛物线上的点，并在对称轴的左侧．作轴交抛物线于点，连结，，且．

①求的值．

②若点在线段上，以点为圆心，为半径画圆．当和的一边相切时，求点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或．

【解析】

（1）将抛物线变形为，由函数值的最小值是，得，求得，即可得到抛物线的解析式；

（2）①连接，过点B作BD⊥OA于点D，由抛物线的解析式，可求得抛物线的对称轴、B的横坐标、C的横坐标，继而可求得B的坐标和C的坐标，可求得、；然后根据平行线的性质，可得，继而可得，则可得到的值；

②由题意和图象得，与不相切，所以需要分与相切、与相切两种情况进行分类讨论．当与相切时，⊥，由C的横坐标为，得的横坐标也为；当与相切时， ⊥，过、分别作直线的垂线、，交点分别为、，过作⊥于，根据，设，，继而得，又，，然后根据，有，从而求得b，得到，即可得出的横坐标．

（1），

∵函数值的最小值是，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：；

（2）①如图，连接，过点B作BD⊥OA于点D，

∵抛物线的解析式为：，

∴A(6,0)，OA=6，抛物线的对称轴为直线x=3，

∵，∴，

∴，，

即点B的横坐标为，点C的横坐标为，

将，分别代入抛物线，得，

∴，，

∴，，

∵轴，∴，

∴，

即的值为；

②由题意和图象可得，与不相切，所以需要分与相切、与相切两种情况：

当与相切时，由以点为圆心、为半径，可得切点为点，即⊥，

如图，延长交于点，则⊥，

∵⊥，C的横坐标为，

∴的横坐标为；

当与相切时，则切点为点，即⊥，

如图，分别过、分别作直线的垂线、，交点分别为、，过E作⊥于，

由（2）①得，则设，，

∴，

由（2）①得OA=6，，，

∴，，

可证，则有，即，解得，

∴，

∴，即的横坐标为，

综上可得，的横坐标为或．