Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4cm．动点E在射线BC上匀速运动，其运动速度为1cm/s，运动时间为ts．连接AE，并将线段AE绕点A顺时针旋转120°至AF，连接BF．

（1）试说明无论t为何值，△ABF的面积始终为定值，并求出该定值；

（2）如图2，连接EF，BD，交于点H，BD与AE交于点G，当t为何值时，△HEG为直角三角形？

（3）如图3、当F、B、D三点共线时，求tan∠FEB的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①当∠HGE＝90°时，点E与点C重合，此时t＝4；②当∠GHE＝90°时，t＝2；（3）

【解析】

（1）由SAS证明△ABF≌△ADE，由AD∥BC得出动点E到AD的距离始终不变，得出S△ADE是个定值，由三角形面积公式即可得出结果；

（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠AEF＝30°，

①当∠HGE＝90°时，点E与点C重合，此时t＝4，

②当∠GHE＝90°时，证出AE⊥BC，在Rt△ABE中，AB＝4cm，∠ABE＝60°，由直角三角形的性质得出BE＝AB＝2cm，此时t＝2；

（3）证出∠AFB＝∠FEB，连接AC交BD于点O，由菱形的性质得出∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，AB＝4，∠ABO＝30°，由直角三角形的性质得出AO＝2，BO＝2，求出FB＝4，得出FO＝FB+BO＝6，由三角函数定义即可得出结果．

（1）证明：∵∠BAD＝∠EAF＝120°，

∴∠BAD﹣∠BAE＝∠EAF﹣∠BAE，

∴∠FAB＝∠EAD；

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，

在△ABF与△ADE中，，

∴△ABF≌△ADE（SAS），

∵AD∥BC，

∴动点E到AD的距离始终不变，

∴S△ADE是个定值，

∴S△ABF＝S△ADE＝×4×4×sin60°＝×4×2＝4（cm2）

（2）解：∵AE＝AF，∠EAF＝120°，

∴∠AEF＝30°，

①当∠HGE＝90°时，点E与点C重合，

此时t＝4，

②当∠GHE＝90°时，

∵∠AEF＝30°，

∴∠HGE＝60°，

∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，

∴∠GBE＝30°，

∴∠GEB＝90°，

即AE⊥BC，

在Rt△ABE中，AB＝4cm，∠ABE＝60°，

∴BE＝AB＝2cm，

此时t＝2；

（3）解：∵AF＝AE，∠EAF＝120°，

∴∠BFE+∠AFB＝30°，

∵∠FBE＝150°，

∴∠BFE+∠FEB＝30°，

∴∠AFB＝∠FEB，

连接AC交BD于点O，如图3所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

在Rt△ABO中，AB＝4，∠ABO＝30°，

∴AO＝AB＝2，BO＝2，

∴FB×AO＝4，

∴FB＝4，

∴FO＝FB+BO＝6，

∴tan∠FEB＝tan∠AFB＝．