Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，E为边AB的中点，点D是BC边上的动点，把△ACD沿AD翻折，点C落在C′处，若△AC′E是直角三角形，则CD的长为2或$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 在图1中构造正方形ACMN，在RT△DEM中即可解决问题，在图2中也要证明四边形ACDC′是正方形解决问题．

解答 解：如图1，当∠AC′E=90°时，作EM⊥BC垂足为M，作AN⊥ME于N．
∵∠C=∠EMB=90°，
∴EM∥AC，
∵AE=EB，
∴MB=MC=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴EM=$\frac{1}{2}$AC=1，
∵∠C=∠CMN=∠N=90°，
∴四边形ACMN是矩形，
∵AC=CM=2，
∴四边形ACMN是正方形，
在RT△ABC中，∵AC=2，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{5}$，
在RT△AC′E中，∵AE=$\sqrt{5}$，AC′=AC=2，
∴C′E=$\sqrt{A{E}^{2}-AC{′}^{2}}$=1，
设CD=C′D=x，在RT△EDM中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x，
∴DE²=DM²+EM²，
∴（1+x）²=（2-x）²+1²，
∴x=$\frac{2}{3}$．
如图2，当∠AC′E=90°时，∵∠AC′D=90°，
∴C′、E、D共线，
在RT△AC′E中，∵AE=$\sqrt{5}$，AC′=AC=2，
∴EC′=$\sqrt{A{E}^{2}-AC{′}^{2}}$=1，
∴$\frac{AC′}{BC}$=$\frac{EC′}{AC}$=$\frac{1}{2}$，∵∠C=∠C′，
∴△AC′E∽△BCA，
∴∠C′AE=∠B，
∵AE=EB，∠AEC′=∠BED，∠C′AE=∠B，
∴△AC′E≌△BDE，
∴∠BDE=∠C′=90°，
∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，
∴四边形ACDC′是矩形，
∴AC=AC′，
∴四边形ACDC′是正方形，
∴CD=AC=2，
故答案为2或$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查图形翻折、正方形、勾股定理、全等三角形等知识，构造正方形是解决这个题目的关键．