Question

6．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，连接CP，则sin∠DCP的值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥CD于点E，根据已知得出∠DAP=∠ADP=∠CDP=45°，在Rt△APD中通过正弦函数值求得DP，然后在Rt△DEP中根据正弦函数值求得PE、DE，进而求得CE，在Rt△DEP中，根据勾股定理求得PC，进而即可求得sin∠DCP的值．

解答 解：过点P作PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠DAB=∠ADC=90°．
∵AP是∠DAB的角平分线，
∴∠DAP=$\frac{1}{2}$∠DAB=45°．
∵DP⊥AP，
∴∠APD=90°．
∴∠ADP=45°．
∴∠CDP=45°．
在Rt△APD中，DP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD，
在Rt△DEP中，∠DEP=90°，
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD=$\frac{1}{2}$AD，
∴CE=CD-DE，
∵AB=2AD，
∴CE=CD-DE=2AD-$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$AD
在Rt△DEP中，∠CEP=90°，PC=$\sqrt{C{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$AD，
∴sin∠DCP=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{\frac{1}{2}AD}{\frac{\sqrt{10}}{2}AD}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了直角三角形函数以及勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．