Question

14．图1和图2中，优弧$\widehat{AB}$所在⊙O的半径为2，AB=2$\sqrt{3}$，点P为优弧$\widehat{AB}$上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．

（Ⅰ）点O到弦AB的距离是1，当BP经过点O时，∠ABA′=60；
（Ⅱ）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．

解答 解：（1）①过点O作OH⊥AB，垂足为H，连接OB，如图1①所示．
∵OH⊥AB，AB=2$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=$\sqrt{3}$．
∵OB=2，
∴OH=1．
∴点O到AB的距离为1．
②当BP经过点O时，如图1②所示．
∵OH=1，OB=2，OH⊥AB，
∴sin∠OBH=$\frac{OH}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠OBH=30°．
由折叠可得：∠A′BP=∠ABP=30°．
∴∠ABA′=60°．
故答案为：1、60．

（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，
∴OB⊥A′B．
∴∠OBA′=90°．
∵∠OBH=30°，
∴∠ABA′=120°．
∴∠A′BP=∠ABP=60°．
∴∠OBP=30°．
∴OG=$\frac{1}{2}$OB=1．
∴BG=$\sqrt{3}$．
∵OG⊥BP，
∴BG=PG=$\sqrt{3}$．
∴BP=2$\sqrt{3}$．
∴折痕的长为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．