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【题目】已知二次函数中x和y的部分对应值如下表:

x … ﹣1 0 1 2 3 …

y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …

(1)求二次函数的解析式;

(2)如图,点P是直线BC下方抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积;

(3)在抛物线上,是否存在一点Q,使QBC中QC=QB?若存在请直接写出Q点的坐标.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)P(,﹣),(3)Q1,﹣)、Q2,﹣).

【解析】

试题分析:(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;

(2)首先求得直线BC的解析式,过P作PNx轴交直线BC于点M,然后根据SBPC=SPCM+SPMB=PMON+PMNB,即可把SBPC表示成P的横坐标x的函数,根据函数的性质求最值;

(3)QC=QB,则Q就是线段BC的中垂线与二次函数的交点,首先求得BC的解析式,然后解方程组即可.

解:(1)设y=a(x+1)(x﹣3)把(0,﹣3)代入可得:﹣3=a(0+1)(0﹣3)

解得:a=1则y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,

二次函数的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;

(2)S四边形ABPC=SABC+SBPC=×1×3+SBPC

设直线BC的解析式是y=kx+b,

解得:

则直线BC的解析式是:y=x﹣3.

过P作PNx轴交直线BC于点M,设P(x,x2﹣2x﹣3)则M(x,x﹣3)

MP=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x

SBPC=SPCM+SPMB=PMON+PMNB

=PMOB=(﹣x2+3x)×3=﹣x2+x=﹣(x﹣2+(0<x<3).

当x=时,SBPC的最大值为,则 S四边形ABPC的最大值为:+=

此时P(,﹣);

(3)BC的中点坐标是(,﹣).

设线段BC的中垂线的解析式是y=﹣x+c,则﹣+c=﹣

解得c=0,

即BC的中垂线的解析式是y=﹣x.

根据题意得:

解得:

则Q的坐标是:Q1,﹣)、Q2,﹣).

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