【题目】已知二次函数中x和y的部分对应值如下表:
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
(1)求二次函数的解析式;
(2)如图,点P是直线BC下方抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积;
(3)在抛物线上,是否存在一点Q,使△QBC中QC=QB?若存在请直接写出Q点的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)P(,﹣),;(3)Q1(,﹣)、Q2(,﹣).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(2)首先求得直线BC的解析式,过P作PN⊥x轴交直线BC于点M,然后根据S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB,即可把S△BPC表示成P的横坐标x的函数,根据函数的性质求最值;
(3)QC=QB,则Q就是线段BC的中垂线与二次函数的交点,首先求得BC的解析式,然后解方程组即可.
解:(1)设y=a(x+1)(x﹣3)把(0,﹣3)代入可得:﹣3=a(0+1)(0﹣3)
解得:a=1则y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,
∴二次函数的解析式为:y=x2﹣2x﹣3;
(2)S四边形ABPC=S△ABC+S△BPC=×1×3+S△BPC,
设直线BC的解析式是y=kx+b,
则,
解得:,
则直线BC的解析式是:y=x﹣3.
过P作PN⊥x轴交直线BC于点M,设P(x,x2﹣2x﹣3)则M(x,x﹣3)
∴MP=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x
S△BPC=S△PCM+S△PMB=PMON+PMNB
=PMOB=(﹣x2+3x)×3=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+(0<x<3).
当x=时,S△BPC的最大值为,则 S四边形ABPC的最大值为:+=,
此时P(,﹣);
(3)BC的中点坐标是(,﹣).
设线段BC的中垂线的解析式是y=﹣x+c,则﹣+c=﹣,
解得c=0,
即BC的中垂线的解析式是y=﹣x.
根据题意得:,
解得:或.
则Q的坐标是:Q1(,﹣)、Q2(,﹣).
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【题目】为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的南北方向增加3m,东西方向缩短3m,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比( )
A. 增加6m2 B. 减少6m2 C. 增加9m2 D. 减少9m2
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【题目】县医院住院部在连续10天测量某病人的体温与36℃的上下波动数据为:0.2, 0.3, 0.1, 0.1, 0, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1, 0,则对这10天中该病人的体温波动数据分析不正确的是( )
A. 平均数为0.12 B. 众数为0.1
C. 中位数为0.1 D. 方差为0.02
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【题目】把一块长80㎜、宽60㎜的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形,做成一个底面积是1500㎜2的无盖铁盒。若设小正方形的边长为x㎜,下面所列的方程中,正确的是( ).
A.(80-x)(60-x)=1500
B.(80-2x)(60-2x)=1500
C.(80-2x)(60-x)=1500
D.(80-x)(60-2x)=1500
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【题目】如图,抛物线y=(x﹣1)2﹣1与双曲线y=交于点A(﹣1,m).
(1)求k与m的值;
(2)写出点A关于抛物线y=(x﹣1)2﹣1的对称轴的对称点坐标 .
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A (1,0)、B(0,3)及C(3,0)点,动点D从原点O开始沿OB方向以每秒1个单位长度移动,动点E从点C开始沿CO方向以每秒1个长度单位移动,动点D、E同时出发,当动点E到达原点O时,点D、E停止运动.
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标;
(2)若F(﹣1,0),求△DEF的面积S与E点运动时间t的函数解析式;当t为何值时,△DEF的面积最大?最大面积是多少?
(3)当△DEF的面积最大时,抛物线的对称轴上是否存在一点N,使△EBN是直角三角形?若存在,求出N点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】画图并填空:如图,方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.
(1)在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′;
(2)画出AB边上的中线CD和BC边上的高线AE;
(3)线段AA′与线段BB′的关系是: ;
(4)求△A′B′C′的面积.
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