Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径画圆交斜边于D，过点D作⊙O的切线交AC于E．
（1）求证：∠DEC=∠B．
（2）若∠B=30°，BC=6，求切线DE的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理，由BC是直径得到∠CDB=90°，则∠B+∠DCB=90°，再根据切线的性质得到∠ECD+∠ODC=90°，加上∠ODC=∠DCO，于是有∠EDC=∠B；
（2）先判断AC为⊙O的切线，根据切线长定理得到EC=ED，则∠EDC=∠ECD，而∠EDC=∠B，所以∠B=∠ECD=∠EDC=30°，再根据三角形外角性质可计算出∠AED=∠ECD+∠EDC=60°，易得△ADE为等边三角形，所以AE=ED，则AE=EC=DE，然后在Rt△ABC中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AC=

3

3

BC=2

3

，于是得到DE=

1

2

AC=

3

．

解答：（1）证明：∵BC是直径，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵ED是切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ECD+∠ODC=90°，
∵OB=OC，
∴∠ODC=∠DCO，
∴∠EDC=∠B；
（2）解：∵∠ACB=90°，BC是直径，
∴AC为⊙O的切线，
∴EC=ED，
∴∠EDC=∠ECD，
而∠EDC=∠B，
∴∠B=∠ECD=∠EDC=30°，
∴∠AED=∠ECD+∠EDC=60°，
而∠A=90°-∠B=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AE=ED，
∴AE=EC=DE，
在Rt△ABC中，∵BC=6，∠B=30°
∴AC=

3

3

BC=2

3

，
∴DE=

1

2

AC=

3

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．