Question

【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（c≠4a），其图象L经过点A（－2，0）.

（1）求证：b2－4ac＞0；

（2）若点B（－，b＋3）在图象L上，求b的值；

（3）在（2）的条件下，若图象L的对称轴为直线x＝3，且经过点C（6，－8），点D（0，n）在y轴负半轴上，直线BD与OC相交于点E，当△ODE为等腰三角形时，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）－3；（3）或

【解析】试题分析：（1）将点A坐标代入函数解析式中，得b＝2a＋ c，再代入b2－4ac中得，b2－4ac＝(2a－c)2，由c≠4a得2a－c≠0，所以(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0． （2）将点B的坐标代入函数解析式中得： ，由4a－2b＋c＝0，所以b＋3＝0，解得b＝－3；（3）由题意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．所以图象L的解析式为y＝x2－3x－8． 设OC与对称轴交于点Q，图象L与y轴相交于点P，则Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．分两种情况：①当OD=OE时，②当EO=ED时，讨论求值即可；

试题解析：

（1）证明：

由题意，得4a－2b＋c＝0，

∴b＝2a＋c．

∴b2－4ac＝(2a＋c)2－4ac＝(2a－c)2．

∵c≠4a，

∴2a－c≠0，

∴(2a－c)2＞0，即b2－4ac＞0．

（2）解：∵点B（－，b＋3）在图象L上，

∴，整理，得．

∵4a－2b＋c＝0，

∴b＋3＝0，解得b＝－3．

（3）解：由题意，得，且36a－18＋c＝－8，解得a＝，c＝－8．

∴图象L的解析式为y＝x2－3x－8．

设OC与对称轴交于点Q，图象L与y轴相交于点P，

则Q(3，－4)，P(0，－8)，OQ＝PQ＝5．

分两种情况：

①当OD=OE时，如图1，

过点Q作直线MQ∥DB，交y轴于点M，交x轴于点H，

则，

∴OM=OQ=5.

∴点M的坐标为（0，－5）.

设直线MQ的解析式为.

∴，解得.

∴MQ的解析式为.易得点H（15，0）.

又∵MH∥DB， .

即，

∴.

②当EO=ED时，如图2，

∵OQ=PQ，

∴1=2，又EO=ED，

∴1=3.

∴2=3，

∴PQ∥DB.

设直线PQ交于点N，其函数表达式为

∴，解得.

∴PQ的解析式为.

∴点N的坐标为（6，0）.

∵PN∥DB，

∴，

∴，解得.

综上所述，当△ODE是等腰三角形时，n的值为或.