Question

【题目】如图1，2在矩形纸片ABCD中，AD=6，AB=9.点M，N分别在AB，DC上（M不与A，B重合，N不与C，D重合），现以MN为折痕，将矩形纸片ABCD折叠.

（1）当B 点落在DC上时（如图2），求证：△MNB是等腰三角形；

（2）当B点与D点重合时，试求△MNB的面积；

（3）当B点与AD的中点重合时，试求折痕MN的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S△MNB=19.5；（3）MN=2.

【解析】试题分析：（1）先判断出AM∥DN，进而得出∠BNM=∠BMN=∠NMH，即可得出结论；

（2）先根据勾股定理求出DN，再用三角形得面积公式即可得出结论；

（3）先根据勾股定理求出BH，再判断出△ABH∽△EMN即可得出结论．

试题解析：（1）如答图1，

∵四边形AHGD是矩形 ，

∴AM∥DN，

∴∠BNM=∠BMN=∠MNH，

∴△MNB是等腰三角形.；

（2）如答图2，当点B与点D重合时，

设MB=MF=x，则AM=9-x，

由勾股定理得：62+（9-x）2=x2，解得x=6.5，

∴MD=ND=6.5，

∴S△MNB=×6×6.5=19.5.

（3）如答图3，当点B与AD的中点重合时，连接BH交MN于点F，过点N作NE⊥AH于点E，

∵AD=6，

∴AB=DB=3，

∴BH2=32+92.

∴BH=3.

∵NM垂直平分HB，NE⊥AH，

∴∠MNE=∠AHB.

∵∠A=∠NEM，

∴△ABH～△AHB.

∴.

∴.

∴MN=2.