Question

10．一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第二象限内作等边△ABC．
（1）求C点坐标；
（2）在第二象限内有一点M（m，1），使S_△ABC=S_△ABM，求M点坐标；
（3）点C′（2$\sqrt{3}$，0），在直线AB上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先分别求出点A的坐标，点B的坐标各为多少，进而求出OA、0B、AB、∠BAO的值各是多少；然后根据△ABC是等边三角形，可得∠CAB=60°，据此判断出∠CAO=90°，AC∥y轴，推得点C的横坐标和点A的横坐标相同，都是-2$\sqrt{3}$；最后结果△ABC是等边三角形，可得AC=AB=4，据此求出点C的坐标为多少即可．
（2）首先根据S_△ABC=S_△ABM，可得CM∥AB；然后设这条直线的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，再把C点的坐标（-2$\sqrt{3}$，4）代入直线的解析式，求出b的值以及这条直线的解析式各是多少，进而求出点M的坐标即可．
（3）

解答 解：（1）如图1，，
∵一次函数y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴点A的坐标为（-2$\sqrt{3}$，0），B点的坐标为（0，2），
∴OA=2$\sqrt{3}$，0B=2，
∴AB=$\sqrt{{OA}^{2}{+0B}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{3}）}^{2}{+2}^{2}}$=4，
∵OB=2，AB=4，
∴∠BAO=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，∠CAO=∠CAB+∠BAO=60°+30°=90°，
∴AC∥y轴，
∴点C的横坐标和点A的横坐标相同，都是-2$\sqrt{3}$，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴点C的坐标为（-2$\sqrt{3}$，4）．

（2）∵S_△ABC=S_△ABM，
∴CM∥AB，
设这条直线的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把C点的坐标（-2$\sqrt{3}$，4）代入直线的解析式，可得
$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$（-2\sqrt{3}）$+b=4，
整理，可得-2+b=4，
解得b=6，
∴这条直线的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+6，
当y=1时，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+6=1，
解得m=-5$\sqrt{3}$，
∴点M的坐标为（-5$\sqrt{3}$，1）．

（3）①以P为顶点，AP，PC′为腰，此时P点的坐标是（1-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$+1），
②以A为顶点，AP、AC′为腰，此时P点的坐标是（-3-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$-1）或（3-$\sqrt{3}$，+1），
③以C′为顶点，AC′，C′P为腰，此时P点的坐标是（+3，3+3$\sqrt{3}$），
因此存在这样的点P，且P的坐标为（1-$\sqrt{3}$，+1）或（-3-，-

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等边三角形的内角都相等，且为60度；②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合．③等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高或所对角的平分线所在的直线．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握．