Question

一副直角三角板（其中一个三角板的内角是45°，45°，90°，另一个是30°，60°，90°）
（1）如图①放置，AB⊥AD，∠CAE=

 

，BC与AD的位置关系是

 

；
（2）在（1）的基础上，再拿一个30°，60°，90°的直角三角板，如图②放置，将AC′边和AD边重合，AE是∠CAB′的角平分线吗，如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由．
（3）根据（1）（2）的计算，请解决下列问题：如图③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD=20°，将一个45°，45°，90°直角三角板的一直角边与AD边重合，锐角顶点A与∠BAD的顶点重合，AE是∠CAF的角平分线吗？如果是，请加以说明，如果不是，请说明理由．
（4）如果将图③中的∠BAC=∠FAD=α（α是锐角），其它条件不变，那么（3）问中的结论还成立吗？只需回答是还是不是，不需要说明理由．

Answer 1

考点：角的计算,角平分线的定义

专题：

分析：（1）如图①，∠CAE=90°-∠BAC-∠EAD；由平行线的判定定理推知BC∥AD；
（2）欲证明AE是∠CAB′的角平分线，只需推知∠EAB′=15°；
（3）根据等量代换推知AE是∠CAF的角平分线；
（4）利用（3）的解题思路解答即可．

解答：解：（1）如图①，∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°．
又∠BAC=30°，∠EAD=45°，
∴∠CAE=90°-∠BAC-∠EAD=15°；
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴BC∥AD．
故答案是：15°；相互平行；

（2）AE是∠CAB′的角平分线．理由如下：
如图②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，
∴∠EAB′=∠EAD-∠B′AC′=15°．
又由（1）知，∠CAE=15°，
∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分线；

（3）AE是∠CAF的角平分线．理由如下：
如图③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又∵∠BAC=∠FAD=20°，
∴∠BAE-∠BAC=25°∠DAE-∠FAD=25°，
∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分线；

（4）AE是∠CAF的角平分线．理由如下：
如图③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
又∵∠BAC=∠FAD=20°，
∴∠BAE-∠BAC=∠DAE-∠FAD，
∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分线．

点评：本题考查了角的计算和角平分线的定义．解题时，利用了“数形结合”的数学思想．