Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，点B是x轴负半轴上的一个动点，连接AB，过点B作AB的垂线，使得BC＝AB，且点C在x轴的上方．

（1）求证：∠CBD＝∠BAO；

（2）如图2，点A、点B在滑动过程中，把AB沿y轴翻折使得AB'刚好落在AC的边上，此时BC交y轴于点H，过点C作CN垂直y轴于点N，求证AH＝2CN；

（3）如图3，点A、点B在滑动过程中，使得点C在第二象限内，过点C作CF垂直y轴于点F，求证：OB＝AO+CF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）根据，以及可证明∠CBD＝∠BAO；

（2）延长CN、AB交于点I，根据折叠的性质知∠BAN＝∠CAN，则可证明△CAN≌△IAN，则有CN＝NI，再证明△ICB≌△HAB，即可得出AH＝2CN；

（3）过C作CJ垂直x轴，垂足为J则CJOF为长方形则CF＝OJ，根据∠CBO+∠BCJ＝∠CBO+∠OBA＝900得出∠BCJ＝∠OBA，证明△CBJ≌△BAO，即可证明OB＝OA+CF.

解：（1）∵

∴∠CBD+∠DBA＝∠BAO+∠DBA＝900

∴∠CBD＝∠BAO

（2）因为AB沿y轴翻折可知，

∠BAN＝∠CAN

延长CN、AB交于点I，

在△CAN和△IAN中

∴△CAN≌△IAN（ASA）

∴CN＝NI

∴CI＝2CN

∵CN⊥y轴

∴∠CNH＝∠CBA＝900

∠BHA＝∠NHC

∴∠NCH＝∠BAH

在△ICB和△HAB

∴△ICB≌△HAB（ASA）

∴AH＝CI

∴AH＝2CN

（3）过C点作CJ垂直x轴，垂足为J则CJOF为长方形

∴CF＝OJ

∵∠CBO+∠BCJ＝∠CBO+∠OBA＝900

∴∠BCJ＝∠OBA

在△CBJ和△BAO中

∴△CBJ≌△BAO（AAS）

∴BJ＝OA

∵OB＝BJ+JO

∴OB＝OA+CF